ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

Number theory

Definition 1.1
ให้ a,b Îที่ b¹ 0 จะได้ว่า b/a ก็ต่อเมื่อ $ I,a = bk
และ b\a ก็ต่อเมื่อ "k Î I,a ¹ bk
b/a จะอ่านว่า “b หาร a ลงตัว”พร้อมกับ b\a จะอ่านว่า “b หาร a ไม่ลงตัว”

Remark
จากนิยาม 1.1 เราจะไม่พูดว่า 0\a หรือไม่ เพราะไม่ได้อยู่ในนิยาม
ดังนั้น ถ้าถามว่า 0\0 หรือไม่ ก็ให้รู้ว่า ไม่ได้นิยามตรงนี้ คือไม่พูดกัน
นับแต่นี้ เมื่อเห็นสัญลักษณ์ a\b ก็ให้รู้กันเลยว่า a ¹ 0

Theorem 1.1 (Linear Combination)
สำหรับ d\a และ d\b จะได้ว่า ทุกจำนวนเต็ม x,y ทำให้ d\ax+by

Theorem 1.2 (Division Algorithm - DA)
สำหรับ จำนวนเต็ม a และจำนวนนับ b ใดใด จะได้ว่า
มีจำนวนเต็ม q และจำนวนเต็ม r Î {0,1,2,……,b-1} เพียงชุดเดียวพอดี ที่ทำให้
A = bq + r
โดยจะเรียก a ว่าตัวตั้ง, b ว่าตัวหาร, q ว่าผลหาร และ r ว่าเป็นเศษจากการหาร a ด้วย b

Definition 1.2
จากการที่ จำนวนเต็มใดใด จะสามารถใช้ DA ในการหารด้วย 2 ได้
ซึ่งจำนวนเต็มแต่ละตัว เมื่อหารด้วย 2 จะเหลือเศษ 0 หรือ 1
จะเรียก จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 แล้วเหลือเศษ 0,1 ว่า จำนวนคู่ และ จำนวนคี่ ตามลำดับ

Remark
สังเกตว่า ใน DA เขียนว่า มี q,r เพียงชุดเดียวพอดี ในแต่ละการหาร
ดังนั้น จำนวนเต็มแต่ละตัว จะเป็นจำนวนคู่หรือไม่ก็เป็นจำนวนคี่ อย่างใดอย่างหนึ่ง
ไม่สามารถเป็นทั้งจำนวนคู่ และจำนวนคี่ได้ อ่านเพิ่มเติม

ระบบจำนวนจริง

4.1จำนวนจริง

เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ ได้แก่

- เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย I

I = {1,2,3…}

- เซตของจำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วย I

- เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I

I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}

- เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม และ b = 0



NOTE

จำนวนต่อไปนี้เป็น จำนวนตรรกยะ

1. จำนวนเต็ม ได้แก่ 0,1,-1,2,-2,3,-3,...

2. จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ เช่น

3. จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 1.414 , -0.17 , 1.508 อ่านเพิ่มเติม

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์
คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น “ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์
การใช้เหตุผล
วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ
1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล”
2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ”

ประพจน์หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกค่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง ส่วนประโยคที่ไม่สามารถบอกกค่าความจริงหรือเป็นเท็จได้จะไม่เรียกว่าประพจน์ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์ เช่นØ ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกØ สุนัขมี 4 ขาØ เดือนมกราคมมี 30 วัน ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ เช่นØ ห้ามเดินลัดสนามØ เธอกำลังจะไปหน

Ø Y + 5 = 8 อ่านเพิ่มเติม